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二维线性转子系统的热力学性质

发布时间:2019-06-24 20:01 来源:未知 编辑:admin

  2010年12月《新疆师范大学学报》(自然科学版) Journal XinjiangNormal University (Natural Sciences Edition) 65 V01.29,NO.4 Dec.2010 二维线性转子系统的热力学性质 (新疆师范大学物理与电子工程学院,新疆乌鲁木齐830054)摘要:二维转子系统是在任何时刻的位置可以由主轴的空间方位角o,币确定,将双原子分子看作一根细的两端联接着 质量为ml和m2的两个质点绕其质心的转动,这样就把两体问题转化为单体问题。文章根据经典力学和量子力学来研究二维线 性转子系统和对二维线性转子系统推导出配分函数并讨论对应的物理量. 关键'司:二维线性转子l配分函数;平均物理量 中图分类号: G237.5 文献标识码: A文章编号: 1008—9659(2010)04—0065—03 假设一个粒子系统是由N个粒子组成,这些粒子是全同的、近独立的、不可分辨的并且这些粒子遵从泡 利不相容原理,因而不能有两个粒子处于同一个力学运动状态,整个系统的波函数必然是反对称的。同时假 设粒子间的作用可以忽略,即认为这些粒子是整个力学系统的近独立粒子系。由于近独立粒子系所组成系 统的稳定状态可以用其粒子系的单粒子运动状态描述。因此,我们依照经典统计物理中把整个力学系统的 运动状态用相空间中N个代表点的分布来确定描述粒子力学的运动状态,引入{N,)分布的概念去描写整个 系统的状态,即把能量为£的本征态的粒子数以咒。表示,而{N,)分布满足,z。=N,咒。£=E,式中N是总 CC^2 粒子数,E是总能量,£一告是单粒子态的能量,,z。=o,1,2……。 1二维线性转子系统的经典描述 考虑质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点0时所作的运动,如图1所示。在直角坐标系 中,质点的位置有坐标z,Y,z确定。质点的能量就是它的动能: 厶如果用球极坐标r,0,9描述质点的位置:x=rsinOcos9,y=rsinOsincp,z=rcos0 质点的能量可以表为 在我们考虑的问题中,质点与原点的距离保持不变即}=0,于是式(2)简化为 [收稿日期]2010—03一19 [作者简介]阿力甫 沙吾提(1958一).男(维吾尔族人),新疆库尔勒市人,副教授,硕士生导师,主要从事热学和热力学统计物理方 面的教学与研究。 万方数据 66 新疆师范大学学报(自然科学版) 式中I=mr2是质点对原点0的转动惯量。口,9和p口,户,就是在球极坐标系中描述质点运动状态的广义坐标和广义动量。在经典力学中,口可以取0至丌,9可以取0至2丌间的任何数值,加,户,的取值原则上没 有任何限制。质点的自由度为2,它的1.Z空间是四维的。 前面讨论的质点是被称作转子的一个例子。转子是这样一个物体,它在任何时刻的位置可以由其主轴 在空间的方位角e,币确定。在前述粒子中,主轴是OA。以细棒联结的质量为11"1。和优:的两个质点(哑铃) 绕其质心的转动也是一个转子。由于二体问题可以的化为单体问题,只要将前面有关公式中的换成约化质 量卢一磊TY而Z1Tn2,结果就是完全适用。在统计物理中将双原子分子绕其质心的转动看作转子。 可以将转子的能量(5)式表达为另一形式。前面引入的广义动量p。和户,实际上是转子角动量的两个 分量。钆是沿z轴的分量。由于妒随时间变化,P,是沿一个变动轴的分量。这变动垂直于z轴和主轴OA 所在的平面。根据经典力学,在没有外力作用的情形下,转子的总角动量M=rP是一个守恒量,其大小 和方向都不随时间改变。由于r垂直于M,质点的运动是在垂直于M的平面内的运动。如果选择z轴平行 于M,质点的运动必在xy平面上。这相当于固定口=詈,A=o。于是式(5)简化为 我们以后要用到(5)和(6)两个转子能量的表达式。2三维线性转子系统的量子描述 我们知道,微观粒子(光子、电子、质子、中子乃至原子、分子等等)普遍地具有粒子和波动的二象性。一 方面它们是客观存在的单个实体,另一方面在适当的条件下又可以观察到微观粒子显示干涉、衍射等等为波 动所特有的现象。例如令粒子束射向晶体,在透射粒子束和反射粒子束中都可观察到衍射花纹。德布罗意 提出,能量为£、动量为;的自由粒子联系着圆频率为叭波矢为乏的平面波,称为德布罗意波。能量£与圆 频率,动量与波矢乏的关系为 ^和fi都称为普朗克常量,是量子物理的基本常量.其数值为,^一6.626 X10_34_f 其量纲为[时间]“能量]=[长度][动量]=[角动量]。 粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。如果以Aq表示粒 子坐标q的不确定值,Ap表示相应动量户的不确定值,则在量子力学所容许的最精确的描述中,Aq与Ap的 乘积满足: Aq 夕=.II 式(9)称为不确定关系。不确定关系表明,如果粒子的坐标具有完全确定的数值即q—o,粒子的动量将完全不确定即p一;反之,当粒子的动量具有完全确定的数值即p一0时,粒子的坐标将完全不确定 万方数据 沙吾提三维线性转子系统的热力学性质67 即q一。这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动。 讨论三维粒子三个动量分量P,,P,,P;的可能值为 3描述三维线性转子系统的配分函数和它的热力学函数在统计物理中,我们常常需要用到单粒子或单粒子系统的配分函数来求到它的热力学性质。 理知,一个自由度为,-的粒子的配分函数可写为 Z1(p=等cole-雕一』』等Pw.,r) (10)由统计物 一个自由度为/。一(Nr)的系统的配分函数可写为 zN(p一莩fF一田一』.fdlq!d^fP,e一声(/,p7’ (12) 通常,粒子或系统的微观能量£(口,,户7)三£(ql,……q,;P。,..… P,)或E(q,,P7)三E(ql,……q,;Pl,…… P,)的具体形式是给定的或可以根据其他方法求出或写出来的。因此我们用(1)和(2)式可以写出极端相对 论性单粒子e=pc及单粒子系统E一户芦的配分函数分别为 Z1(卢)=丽87rV矿1三乒 (13) (14)如系统的能量可分为各种形式的能量之和,则配分函数就可写成相应的各个能量部分配分函数的因子 的乘积。根据拉普拉斯变换的反演公式我们有 例如利用留数定理较为方便地求出g(£)或G(£)。ZN(p应具有如下形式 (15) (15) 从(15)式(16)式来看,一般说来,配分函数Z-(卢)或 Zz(p2劳 (17) (18)应具有至少一阵奇点,否则,按照解析函数的性质,反演(15)式和(16)粼f恒为零,显然这是与物理实际 不相符的。这里口和A均为与p无关的常数。,l为任一正数。选取适当的围道,利用Cauchy定理不难 证明。 万方数据68 新疆师范大学学报(自然科学版) 式中11(n)为Gamma函数。利用(17)式,(18)式和(19)式,g(e)和G(E)的计算公式(15)和(16)变成: (20)G(E)=A(E)”一1IF(n)(21) 事实上,对于常见的系统,Z,(口)或Z(f1)--般确实具有如(17)式或(18)式那样的形式,下面就是常见的 系统的g(e)或G(E)的具体计算举例。 ’例:二维转子和转子。对于一个二维转子(这里指刚性连续的双原子分子),其配分函数 Z1(p2酽Z1兰荸 式中为转动惯量。由(20)式立即可得 g(£)=予21 对于由N个独立的直线性的双原子分子所组成的系统,其分配函数不难求得是 知道了态密度g(£)和G(£)的明显的表达式之后,我们还可以将粒子的分布函数户z或系统的分布函数p,表达为按能量的连续分布函数,进而把单粒子的任一物理量Y的期望值(厂)或单粒子系统的任一物理量 F的期望值(厂)表达为对矗或对dE的积分即 Zzf1 culP一掣.19d7qd*pf(q'j'7)P一卢(,’,) F101P一圊丽1矿l』fr“:q“7pF(qlp7)P一声(/ K1。1/dqdfpe喟阳 fFF(E)G(E)P—t'dE 可见对态密度的计算是有意义的,但发展一种更为一般而又有效的计算方法则更有意义。从以上几例可以看出,本文的计算方法确实是一种有效的方法。 总之,上面的解释中我们可以看出,在统计物理学中,配分函数具有重要的地位。各种统计方法中求热 力学量的问题最后都归结为求配分函数。 参考文献: [1]邓辉舫.一种计算态密度的有效方法[门.大学物理.1988,6:17—19. [2]尹国盛.理想费米气体的热力学性质[力.商丘师范学院学报,2002,18(5)。15—18. [3]王燕华.一维线性谐振子的热力学性质[刀.唐山师范学院学报,2006,28(5)t49—50. [4]汪志诚.热力学 统计物理(第三版)[加.北京t高等教育出版社,2003:165—173. [5]汪诚泰.统计物理学[^妇.北京t清华大学出版杜,1991。170—177. 万方数据 三维线性转子系统的热力学性质69 Thermodynamic Properties Two--DimensionalLinear Rotor System Al ifu Shawutj (School ElectronicEngineering,Xinj iang Normal University, Urumqi,Xinjiang 830054,China) Abstract:Two--dimensionallinear rotor system twomass points which mas。ses m2respectively principalaxis anytime, The Diatomic molecule twomass points connected together,and circling way.wecan change two--bodycase single--bodyone.This paper studies two—di— mensional linear rotor system deducespartition function according tO quantumme— chanics,discussing correspondencephysical quantity. Key words:Two--Dimensional Linear rotor;Partition function;Average physical quantity (上接第64页) 显然方程组(2)的解是方程组(1),若K是方程组(1)的解,即A’AXo=0把式A’Axo=0左乘以 (AXo)’(AXo)=0因为A)【o为实向量,由此得Axo=O,即)(o是方程组(2)的解.因此,方程组(1),(2)同解,故 7A)=秩(A)参考文献: [1]北京大学数学系几何与代数教研室.高等代敷[nO.北京t高等教育出版社,2003;127—147. [2]张赫瑁、郝炳新等.高等代数[M].北京;高等教育出版社出版,2007t247—254. [3]复旦大学数学系高等代数[M].上海t复旦大学m版社出版,2002,86—90. [4]冯红.高等代数全程学习指导[M].大连t大连理工大学出版社,2004t118一128 Is]扬子胥.高等代数习题解[^幻.济南:山东科学技术出版社,2002t576—585. Use HomogeneousLinear Equation Solution SolveSome Problems MatrixMatturdi BARD I(Mathematic Department,Hetian Teachers College,Hetian Xinjiang 848000) Abstract:When solution some problems matrix,ifdirect use matrix,theproblems comemore complex,if use homogeneouslinear equation solution comesimpler.In articleforward,use homogeneouslinear equation solution solvesome problems matrixviews.Forward sometheorem itsproof sometrain thoughts.Key words:Homogeneous linear equations;Matrix;Problem 万方数据

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